L'auteur montre que l'activité d'écrire une démonstration apporte à celle-ci du sens et de la compréhension et qu'il ne s'agit pas que d'une affaire de langue et de maîtrise du langage.
Il montre, dans un premier temps, les positions possibles du sujet par rapport à l'activité d'expression en langue naturelle et les modifications de fonctionnement cognitif du sujet selon sa position par rapport à l'expression ainsi que l'enjeu de ces changements de positions pour la démonstration. Dans un deuxième temps il traite de la discursivité propre aux démonstrations de mathématiques et établit la position par rapport à l'expression qui permet d'en prendre conscience.
Pour conclure, il dégage les conditions nécessaires pour devenir capable d'écrire un texte de démonstration.