Cet article est le compte rendu d’un atelier des Journées Nationales APMEP de Paris 2010. Dans un bref historique, l’auteur présente les travaux de Paul Schatz (son « cube inversible » découvert en 1929 est un premier kaléïdocycle), de Wallace Walker (en 1958, sa forme IsoAxis permet d’en fabriquer), et de Marcus Engel (qui, en 2003, les définissent et en énoncent les propriétés), puis précise que, peu après 2003, Rémi Belloeil donne une possible construction des kaléïdocycles irréguliers fermés d’ordre 6 et 8 à partir d’enveloppes, et en propose une animation de découverte scientifique. L’article détaille la méthode utilisée par l’auteur pour son atelier des journées 2010, adaptable à plusieurs niveaux des collèges, lycées et universités (théorie des groupes). L’auteur présente ensuite sa modélisation (par leurs plans de symétrie) des kaléïdocycles irréguliers fermés, explicitée pour les ordres de 6, 8, 10, 12 à 20. Par une étude trigonométrique dans l’espace, l’auteur trouve une relation entre les deux polygones limitant les plans de symétrie des kaléïdocycles irréguliers fermés d’ordre de 6 à n. Cette relation permet de vérifier que les enveloppes de correspondance de formats ISO 269 ne permettent de construire que des kaléïdocycles irréguliers fermés d’ordres 6 et 8.
La réalisation de kaléïdocycles est l’occasion d’un véritable travail de géométrie en collège qui permet d’aborder le vocabulaire de géométrie plane et dans l’espace, de calculer et de démontrer. L’auteur détaille l’expérimentation en 6e (ordre 8) : projet, démarche, mise en œuvre, éléments d’évaluation (activité des élèves, motivation). Ensemble positif malgré les difficultés de réalisation.