L’exposé se propose d’illustrer la phrase suivante, extraite du document d’accompagnement des programmes de mathématiques de l’école primaire, à propos des « problèmes pour chercher » : [Il s’agit] de véritables problèmes de recherche, pour lesquels [les élèves] ne disposent pas de solution déjà éprouvée et pour lesquels plusieurs démarches de résolution sont possibles. C’est alors l’activité même de résolution de problème qui est privilégiée, dans le but de développer chez les élèves un comportement de recherche et des compétences d’ordre méthodologique : émettre des hypothèses et les tester, élaborer une solution originale et en éprouver la validité, argumenter.
Cette conférence tente de montrer que l’activité d’expérimentation, évoquée dans la phrase ci-dessus, est une partie essentielle de la recherche d’un problème mathématique, à tous les niveaux. Plusieurs exemples sont étudiés, certains élémentaires, d’autres moins, pris en arithmétique, en géométrie, en analyse. Les diverses phases d’une démarche expérimentale en mathématiques sont discutées à partir de ces exemples :
– expérience consistant en l’examen d’un exemple non trivial et, si possible, générique,
observation de l’exemple et formulation de conjectures,
– tentative de preuve des conjectures,
– contre-expérience menant éventuellement à un contre-exemple et à une remise en cause des conjectures,
– nouvelles conjectures et nouvelles tentatives de preuve, etc.
Les moyens de cette expérimentation, et notamment l’utilisation des calculatrices et de l’ordinateur sont évoqués. Enfin le rôle de l’erreur dans ce processus de recherche est abordé.