La géométrie est un domaine de connaissance qui exige l’articulation cognitive de deux registres de représentation très différents : la visualisation de formes pour représenter l’espace et le langage pour en énoncer des propriétés et pour en déduire de nouvelles. Les difficultés d’apprentissage viennent d’abord de ce que ces deux registres sont utilisés d’une manière souvent contraire à leur fonctionnement cognitif normal en dehors des mathématiques.

La manière de voir des figures dépend de l’activité dans laquelle elle est mobilisée. On peut ainsi distinguer une manière de voir qui fonctionne de manière iconique et une manière de voir fonctionnant de manière non iconique. La visualisation non iconique implique que l’on déconstruise les formes déjà visuellement reconnues. Il y trois types de déconstruction des formes : la déconstruction instrumentale pour construire une figure, la décomposition heuristique et la déconstruction dimensionnelle. La déconstruction dimensionnelle constitue le processus central de la visualisation géométrique.

Pour analyser le rôle du langage en géométrie, il faut distinguer trois niveaux d’opérations discursives : la dénomination, l’énonciation de propriétés, la déduction. Cette distinction est essentielle car le rapport du langage à la visualisation change complémentaire d’un niveau à l’autre. Cependant, sous cette variation, se cache un phénomène cognitif fondamental : le hiatus dimensionnel. Les passages entre visualisation et discours impliquent en géométrie un changement du nombre dimensions pour reconnaître les objets de connaissance visés dans chacun des deux registres.
La prise de conscience de la déconstruction dimensionnelle des formes et celle de la variété des opérations discursives sont les conditions pour que la visualisation et le discours fonctionnent en synergie malgré leur hiatus dimensionnel. Ce sont là les seuils décisifs dans l’apprentissage de la géométrie.