Cet ouvrage a pour objectif d’aider le lecteur à mieux comprendre l’épistémologie ou les heuristiques des contenus des programmes du collège ou du lycée. Les 9 chapitres sont de nature différente et autonome. Ils sont illustrés d’exercices corrigés ou avec indications, d’énoncés détaillés.
Le premier chapitre montre comment la notion d’équation unifie un grand nombre de problèmes dans de nombreux secteurs des mathématiques : ensembles et applications, applications réciproques, définition d’objets mathématiques en géométrie, en analyse ou en algèbre.
Le chapitre 2 fait le point sur les nombres complexes, sur leur origine, les différentes manières de les présenter et sur leur utilisation en géométrie (problème d’alignement, de cocyclicité, d’orthogonalité, de lieux, les équations de droites et de cercles dans C, …). Le chapitre se termine par des exemples d’utilisation géométrique des nombres complexes en algèbre.
Le chapitre 3 dresse un panorama épistémologique, avec quelques évocations historiques, de l’évolution de la compréhension du nombre pi depuis le cadre géométrique jusqu’à celui de l’analyse, en passant par l’intervention de l’algèbre.
Le chapitre 4 présente un tableau des notions et faits de base de la convexité, traite des questions de périmètre et aire pour les convexes. Il se termine par une approche culturelle d’aspects modernes de la convexité. Les notions d’aire et volume sont admises dans ce chapitre qui est indépendant des suivants constituant un bloc consacré aux notions d’intégrale, aire et volume.
Le chapitre 5 donne une problématisation des notions d’intégrale et primitive et de leurs rapports à travers des exemples inspirés de l’histoire. Il y est proposé une présentation possible des notions d’intégrale, aire et primitive en terminale.
Le chapitre 6 expose que l’existence des primitives des fonctions continues peut se montrer indépendamment des notions d’intégrale et d’aire.