Cet ouvrage comporte huit chapitres :
1 Une question anodine ?
2 La dérivation
3 Le calcul intégral
4 La formule de Stokes
5 Les équations différentielles
6 Le théorème de Besicovitch
7 La conjecture de Kakeya
8 Perspectives

Sôichi Kakeya est un mathématicien japonais qui, au début du 20e siècle, posa la question : « Quelle est la plus petite surface à l’intérieur de laquelle il est possible de déplacer une aiguille de manière à la retourner complètement ? »
A travers cette question d’apparence anodine, les auteurs nous font visiter de larges pans des mathématiques : tout d’abord la géométrie, pure ou analytique, à travers les essais de surfaces d’aires de plus en plus réduites répondant à la question : disque, triangle curviligne de Reuleaux, deltoïde, astroïde, enveloppes de droites, etc. Puis le calcul différentiel, puisqu’il s’agit d’un problème de minimisation ; et le calcul intégral, puisqu’il faut calculer des aires. Ces outils s’avérant insuffisants pour résoudre complètement le problème, on aborde les intégrales curvilignes, les équations différentielles, les systèmes dynamiques, les problèmes de billards, les dimensions fractales, les surfaces d’aire nulle, le chaos, les espaces de dimension supérieure à 3, et même la répartition des nombres premiers et l’hypothèse de Riemann ! Sont cités des résultats très récents (2006) et des questions encore ouvertes.
Le tout est traité de façon résolument historique, avec présentation et situation dans leur époque de nombreux protagonistes : Archimède, Descartes, Euler, Newton, Leibniz, Stokes, Poincaré, etc. Partout les idées sont mises en avant, les techniques et procédés de calcul gardant leur juste place d’outils au service de la pensée ; l’intuition et l’imagination précèdent la démonstration ; la démarche va toujours du particulier vers le général. L’accent est mis sur les « grands problèmes », et sur les connexions entre domaines éloignés. A mesure que l’on s’approche des savoirs contemporains, la complexité des notions contraint les auteurs à revenir peu à peu au niveau de la vulgarisation, au sens noble du terme, celle qui donne envie d’aller plus loin.