Ce livre en complément du premier tome propose 462 exercices pour une initiation et un approfondissement à l’étude de Rⁿ et des fonctions réelles de plusieurs variables réelles ; il est issu d’un cours de calcul différentiel et intégral effectivement enseigné en 1er cycle universitaire durant plusieurs années ; il fait suite au tome 1 qui traite des fonctions réelles d’une ou plusieurs variables réelles.
Le premier tiers de ce second tome comporte 4 chapitres : Espace Rⁿ, Fonctions de plusieurs variables réelles, Dérivées partielles (chapitre correspondant à plus de la moitié de l’ouvrage et du nombre d’exercices), Intégrales multiples.
Chaque chapitre est structuré de la même façon :
– des rappels de définitions et propositions (sans démonstration) fondamentaux pour l’étude du sujet ; ils représentent au total 36 pages ;
– des énoncés d’exercices.
Le reste du livre rassemble les corrigés.
L’auteur précise que « chaque corrigé est fait en fonction de la difficulté de l’exercice » ; il ne se contente pas de donner des résultats (sauf pour 5 exercices) ; ni d’annoncer qu’une réponse s’obtient par une démonstration similaire et renvoie une dizaine de fois seulement à un autre corrigé développé ailleurs dans le livre. Pour une centaine de corrigés figurent seulement des lignes de calcul, en particulier pour les batteries d’exercices sur les calculs de limites, de dérivées partielles, d’intégrales simples, doubles ou triples. Pour les autres, les développements rédigés sont courts : 1/3 dépasse une demi-page en comptant l’emplacement d’une figure éventuelle, une dizaine dépasse une page complète. Certains thèmes : points stationnaires, extrema, utilisation du théorème de Lagrange, sont l’objet de nombreux exercices à caractère répétitif.
Les corrigés comportent rarement des rappels de cours supplémentaires ; une remarque précise parfois le nom attaché au résultat obtenu dans l’exercice (exemple : inégalité de Hölder), nom qui, répertorié dans l’index, permet d’accéder à son étude. Fonctions auxiliaires, changements de variables, usages de contre-exemples, démonstrations par l’absurde, sont annoncés clairement. Plus de 80 dessins sont joints, en particulier de surfaces d’équation z=f(x,y), de domaines d’intégration pour les intégrales doubles ou triples.