Le fonctionnement du processus de découverte en mathématique est très complexe, néanmoins l’histoire montre que souvent la motivation de l’introduction des nouveaux concepts trouve son origine dans un problème concret (physique, biologique,…) et que la construction de nouveaux outils reposent sur des considérations heuristiques, qui trouvent leurs justifications rigoureuses parfois plusieurs années après qu’ils aient été largement utilisés. Paradoxalement, peu à peu l’étude des cheminements historiques qui ont conduits aux développements de nouvelles théories ont été éradiqué de nos enseignements, au profit de présentations très synthétiques, masquant l’origine et la genèse des idées, privilégiant une construction rigoureuse des théories au détriment de leurs applications. Dans cet article l’auteur propose un retour à un enseignement suivant une chronologie plus naturelle, sans hésiter à le motiver par une problématique concrète et à faire appel au raisonnement heuristique, en montrant le quintuple avantage qu’il en découlera : récréer le lien essentiel, quasi disparu, entre activité de recherche et d’enseignement, remettre en relief le rôle privilégié de l’enseignement des mathématiques dans l’apprentissage de la démarche scientifique, donner du sens aux objets mathématiques étudiés, montrer l’intérêt des mathématiques dans un contexte pluridisciplinaire, et enfin de permettre de comprendre le mode de fonctionnement spécifique aux mathématiques qui consiste à construire un cadre général et rigoureux afin de légaliser les concepts introduits. Ce propos est illustré par les résultats de l’expérience acquise ces trois dernières années au cours desquelles l’auteur a pu mettre en pratique avec succès ces idées dans le cadre de stages « Hippocampe », dans une quinzaine de lycées différents de l’hexagone avec des classes de troisième, seconde, première et terminale dont les élèves provenaient de divers milieux sociaux.