Dans ce chapitre, l’auteur « insiste à juste titre sur la nécessité de ne pas projeter notre point de vue moderne sur une pratique ancienne dans laquelle l’objet mathématique correspondant n’avait pas le statut que nous lui connaissons ». Cette présentation montre comment est une pratique qui s’est développée sans justification théorique, s’insinuant dans tous les domaines : résolution des équations, division du cercle, logarithmes et exponentielles, avant d’acquérir la respectabilité d’une théorie fondée en toute rigueur. Irradiant alors tout le champ des mathématiques, elles donnent en fin de compte à celles-ci le bon cadre dans lequel, selon le mot de Riemann : « il se présente alors une harmonie et une régularité qui sans cela restent cachées. »