Il ne s’agit pas d’une introduction élémentaire à la théorie des singularités, ni d’un ouvrage pour spécialistes proposant beaucoup de théorèmes nouveaux.
L’auteur invite le lecteur à une promenade historique au cours de laquelle nous rendons visite à Hipparque, Newton et Gauss, mais aussi à beaucoup de mathématiciens contemporains.
Les quatre premiers chapitres étudient les positions relatives des graphes d’une famille de polynômes (à valeurs réelles) dans l’esprit du théorème de Kontsevich. La comparaison des valeurs des polynômes pour de petites valeurs de x, négatives et positives, donne une permutation qui décrit l’allure locale au voisinage de 0. Ce type de permutations a été étudié avec une autre approche en Combinatoire sous le nom de « permutations séparables ». L’auteur examine ensuite les « push and pop stacks » (manipulations de piles) telles que les présente Donald Knuth dans The Art of computer programming Vol. 1. Il compte aussi le nombre de permutations séparables, et ce sera l’occasion de découvrir que ces nombres ont déjà été étudiés par Hipparque, il y a plus de deux millénaires et retrouvés par Ernst Schröder.
Dans les chapitres qui suivent, il essaye de généraliser le problème des graphes de polynômes aux courbes planes définies de manière implicite par une équation F(x,y)=0, où F est un polynôme (réel). Ce qui demande de comprendre la topologie d’une courbe algébrique (ou analytique) au voisinage d’un point singulier. Les premiers résultats importants sont dus à Newton dans le Tractatus de methodis serierum et fluxionum (1699), qui est étudié en deux chapitres. On y trouve une présentation détaillée de la fameuse méthode de Newton d’approximation des racines d’un polynôme, ainsi que la notion des polygones de Newton. En complément, le chapitre suivant , intitulé « algèbre formelle », explique les résultats de Newton dans la terminologie moderne et propose des preuves (non données par Newton).
A partir du chapitre « Les courbes algébriques et le théorème fondamental de l’algèbre », l’étude devient purement algébrique. Il examine la première preuve de Gauss pour le théorème fondamental de l’algèbre (1799), utilisant des arguments de type topologique, révolutionnaires pour l’époque. Elle est fondée sur la conjecture non prouvée qu’une courbe algébrique qui entre dans un disque doit en sortir. Il regarde deux tentatives inabouties du 19e, par Joseph Alfred Serret et Paul Joseph Serret.
Euler, Cauchy et Poincaré étaient les grands maitres de la manipulation des séries. Leurs découvertes font l’objet de deux chapitres : l’un sur les séries divergentes, l’autre sur le calcul des limites de Cauchy se termine par la preuve de la convergence des séries de Newton. Ce qui permet de montrer qu’un petit cercle autour d’une singularité d’une courbe analytique plane réelle coupe la courbe en un nombre pair de points et définit un diagramme de cordes, i.e. 2n points ordonnés de façon cyclique sur un cercle et groupés en paires.
Les trois chapitres suivants s’intéressent à la topologie des singularités sur les courbes analytiques planes. L’auteur explique la méthode d’éclatement, une sorte de microscope qui permet de regarder plus profondément dans la singularité. Topologiquement, ceci introduit un ruban de Moebius, ou des colliers de Moebius, si l’on utilise le microscope plusieurs fois. L’opération d’éclatement va se révéler un puissant outil pour la résolution des singularités.
Les images locales pour les courbes planes complexes sont magnifiques et méritent le détour. Puisque C^2 est de dimension 4 sur R, couper la courbe avec de petites 3-d sphères autour de la singularité produit des objets remarquables, comme la fibration de Hopf.
Des singularités plus compliquées, comme par exemple celle de la cuspide (x^2-y^3=0), sont décrites par noeuds et liens. Afin de comprendre le cas général, l’article s’intéresse à l’approche tout à fait neuve des séries de Newton proposée par Victor Puiseux (1850). En 1968, Jack Milnor a utilisé ses idées pour donner un tableau topologique complet, mais encore sur les nombres complexes.
Il est intéressant de découvrir un lien entre les permutations séparables et l’associaèdre, une famille de polytopes convexes introduite par Tamari et Stasheff. A l’aide de ces polytopes, Jim Stasheff a pu donner une caractérisation des espaces ayant le même type d’homotopie que les groupes topologiques. Ceci se révéla le point de départ de la théorie des opérades qui joue un rôle fondamental dans la théorie moderne de l’homotopie et la topologie algébrique. Les opérades sont des structures algébriques très générales dont des exemples typiques sont donnés par les arbres, les tresses, les espaces de configuration, etc. L’auteur montre que la collection de toutes les singularités, jusqu’aux homéomorphismes, peut être vue comme une opérade singulière.
Juste pour s’amuser, l’auteur examine une courte note de Gauss, sur des boucles fermées dans le plan, avec des points doubles ordinaires. En parcourant la boucle, chaque point double est visité deux fois, de sorte que cela définit un diagramme de cordes. Pouvons-nous caractériser cette sorte de diagrammes ?
Les deux chapitres suivants présentent la caractérisation complète des diagrammes de cordes qui sont associés aux singularités des courbes analytiques planes réelles.
Pour conclure le livre, l’auteur propose dans l’avant dernier chapitre l’approche par Gauss du nombre de liaison, sans preuve, sur l’invariant universel de Kontsevich pour les noeuds. Dans le dernier chapitre, il encourage le lecteur à continuer l’exploration de nouvelles destinations.