Cet article est le texte d'une conférence donnée dans le cadre d'un séminaire qui s'est tenu en 1965 à Echternach au Luxembourg. L'auteur y critique le fait que dans l'enseignement secondaire l'on travaille "en vase clos" et sur des "blocs entiers de mathématiques ... devenus totalement inactuels ... et qu'on peut proprement qualifier de fossiles." Ardant défenseur de l'introduction de l'algèbre linéaire dans le second degré, Dieudonné se demande par exemple : " en quoi l'algèbre linéaire, cet algorithme aussi simple dans son principe que protéiforme dans ses applications, formerait-elle moins l'esprit que les pénibles échafaudages de Hilbert ou de ses adaptateurs modernes ?". Aussi se propose-t-il de "montrer comment l'algèbre linéaire des mathématiciens modernes est au contraire devenue la sève nourricière des mathématiques vivantes."

Ce texte comporte quatre parties :
1. Les difficultés du dialogue entre l'enseignement secondaire et l'enseignement supérieur, et les mathématiques fossiles.
2. Les niveaux de l'algèbre linéaire : Dieudonné distingue six niveaux: - un premier niveau, le plus élémentaire, avec l'étude des espaces vectoriels sur le corps R des réels - un second niveau sous forme d'un premier pas dans l'abstrait avec des espaces vectoriels à un nombre quelconque n de dimensions - un troisième niveau avec une généralisation dans la direction du passage du "fini à l'infini" comme y invite l'analyse fonctionnelle - un quatrième niveau avec une généralisation de la théorie générale des espaces vectoriels (de dimension finie ou non), capitale dans l'algèbre moderne - un cinquième niveau sous forme d'une étape avec la théorie des modules- un sixième niveau dans lequel on a recours à l'algèbre homologique, la plus complexe et la plus difficile des branches de l'algèbre linéaire.
3. Les applications de l'algèbre linéaire : Dieudonné propose une classification pour mettre de l'ordre dans l'amoncellement des théories : - le domaine originel de l'algèbre linéaire : géométrie élémentaire avec le "Programme d'Erlangen de Félix Klein; théories "linéaires" du calcul infinitésimal (équations différentielles, équations aux dérivées partielles, équations intégrales) - les conquêtes de l'algèbre linéaire : l'idée d'approximation linéaire du calcul différentiel, de la géométrie différentielle, de la topologie différentielle; linéarisation de l'algèbre (théorie de Galois, groupes abéliens), de l'arithmétique, de la topologie algébrique - la métaphysique de l'algèbre linéaire (maniement de la théorie moderne des "catégories" et des "foncteurs".
4. L'algèbre linéaire et la géométrie fossile