Histoires de Mathématiques. Arithmétique. Les mosaïques de Thiele.

Résidus quadratiques et entiers de Gauss.

Résumé

Les Disquisitiones Arithmeticae, que Gauss a écrit à l’âge de vingt ans, ont fondé l’arithmétique moderne. Un de ses résultats phares est la loi de réciprocité quadratique. Plus tard, il l’a étendue aux résidus biquadratiques, introduisant pour cela les entiers complexes. Les représentations planes des entiers complexes, colorés selon qu’ils sont ou non résidus quadratiques, donnent de magnifiques mosaïques.

Abstract

Gauss’ Disquisitiones Arithmeticae, written at the age of twenty, have founded modern arithmetic. One of its major results is the law of quadratic reciprocity. Later on, he extended it to biquadratic residues, us thintroducing complex integers. Plane representations of complex integers, colored according to their property of being or not quadratic residues, display splendid mosaics.

Notes

Depuis le site Histoires de Mathématiques , cette histoire est racontée dans le diaporama vidéo https://www.hist-math.fr/recits/buttner.html (durée : 18:39). Le fichier PDF associé permet d’utiliser le contenu des écrans https://www.hist-math.fr/pdf/buttner.pdf (10 p.).

Le site Histoires de mathématiques contient 228 récits concernant les mathématiques et leur histoire. Ils sont de format homogène : un diaporama vidéo de 20 à 30 minutes, un fichier PDF contenant le texte et une trentaine de transparents accessibles depuis sa fenêtre de liens.

Cette ressource est en ligne sur le site https://hist-math.fr/

Pistes d’utilisation en classe

Malgré son importance historique, la loi de réciprocité quadratique est trop difficile pour être abordée au lycée. En revanche, la notion de résidu quadratique, est une bonne illustration de la congruence. Les mosaïques de Thiele peuvent servir de motivation esthétique à une réflexion sur les entiers complexes.

Le lien avec les programmes de mathématiques du lycée est consultable depuis l’onglet « Programmes » du site.

Données de publication

Éditeur Ycart, Bernard Grenoble , 2018 Index Bibliogr. p. 14-14

Public visé élève ou étudiant, enseignant, tout public Niveau 1re, 2de, lycée, terminale Âge 15, 16, 17

Type Film, vidéo, monographie, polycopié, vulgarisation, popularisation Langue français Support internet