Plan du chapitre :
1. Que doit-on enseigner ? Deux siècles de mathématiques obligatoires - Deux millénaires d'enseignement des mathématiques...
2. L'enseignement doit-il être uniforme ? Quelles sont les mathématiques liées à l'enseignement ?
3. Un double processus d'approximation et d'intégration des logarithmes - Pourquoi parler des logarithmes - L'histoire des notations - Une table d'approximation numérique comme lieu de savoir - L'affirmation de Napier - Le logarithme décimal - L'essor du décimal - Le sens fonctionnel des logarithmes - La punition des logarithmes : une paradoxale et provisoire mise à l'écart - L'aire sous l'hyperbole : le logarithme géométrisé - Qu'est-ce qu'un invention mathématique ? - Les raisons pédagogiques d'un refus du logarithme - Une méthode : l'insertion des logarithmes dans l'algèbre des séries numériques - L'analyse des logarithmes : le naturel qualifié - La série de l'exponentielle - Une fracture et sa réduction : mathématiques élémentaires et mathématiques transcendantes - La continuité
4. Les sélections variables d'une mathématique unique - L'aventure des logarithmes dans l'enseignement - L'unique revendiqué - Les "mathématiques modernes" et l'autorité - Les changements de programme - l'adéquation et la sélection - Le retard
5. La mémoire mathématique ; objets, styles et postérités - La mémoire immédiate du vrai et du faux - L'angle droit quantifié - La relation de Pythagore - Du qualitatif au quantitatif - Similitude et pythagoricité - Une précaution - L'orthogonalité - Le cercle trigonométrique - La perpendicularité - La perpendiculaire selon Arnauld - Orthogonalité et perpendicularité - Un calcul naturel : les séries de Fourier, un système infini d'équations linéaires, approché par un système fini. Le souvenir de Wallis - La mise en question. Les coefficients de Fourier - L'orthogonalité retrouvée - La postérité de Fourier - D'Euclide à Hilbert
6. La mathématique enseignée comme histoire virtuelle - La mathématique sans histoire - Les changements en mathématiques, une familiarité avec le passé - Reconstitution historique - Un herbier des courbes - Reconstruire la mathématique passée - La mathématique enseignée - Géométrie élémentaire - La mathématique élémentaire dans l'histoire - Les éléments de mathématiques - Thalès et Pythagore - La dignité de l'élémentaire.