Ce chapitre est consacré à l’ouvrage de Hermann Hankel paru en 1867 : Theorie der complexen Zahlensysteme.
Dans un ouvrage qu’il veut à la fois de synthèse et fondateur, pédagogique et savant, Hankel développe, sous l’autorité d’un principe de permanence des lois formelles, un calcul formel qui instaure le primat des opérations sur les objets. S’il semble clore définitivement la question du statut des nombres négatifs, il ouvre la voie à d’autres points de vue formels. Et, même s’il ne dit rien sur la manière d’enseigner les nombres négatifs, sa théorie abstraite des opérations ne sera pas sans influence sur leur enseignement en Allemagne et en France.

Voici le plan :
– Quelques éléments biographiques d’une vie trop courte
– Un ouvrage au carrefour de trois influences
– Un système de relations entre objets, fermé algébriquement
– La théorie générale des formes
– Le principe de permanence des lois formelles
– La théorie formelle des nombres négatifs
– En guise de conclusion : la règle des signes !