The Oxford Handbook of Generality in Mathematics and the Sciences. The Value of Generality in Michel Chasles's Historiography of Geometry. p. 47-89.

(La valeur de généralité dans l'historiographie de la géométrie par Michel Chasles.)

Résumé

Cet article traite de la valeur de la généralité dans l'historiographie géométrique de Michel Chasles, présentée dans son livre de 1837, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie. Il a été composé à l'époque où le domaine de la géométrie projective prenait forme. Ce domaine est le fruit d'une réflexion historique, philosophique et mathématique qui s'est développée sur plusieurs décennies, à partir du début du XIXe siècle en France. Cette réflexion visait explicitement à déterminer comment on pourrait obtenir en géométrie, par des moyens purement géométriques, une généralité aussi significative que celle obtenue au moyen de méthodes analytiques à partir du 17e siècle. Le livre, écrit par l'un des fondateurs et praticiens de ce domaine de la géométrie, peut être considéré comme une synthèse de ces réflexions, à la fois en ce qui concerne la géométrie en elle-même et l'histoire de l'introduction progressive de la généralité dans le domaine. De plus, le livre présente les idées personnelles de l'auteur sur ces deux aspects. Il révèle ainsi que les fondateurs du domaine, parmi lesquels on peut compter Monge, Carnot, Poncelet et Chasles, avaient des points de vue différents sur les moyens d'accroître la généralité en géométrie. L'article entend s'appuyer sur l'analyse développée par Michel Chasles dans son livre afin de réfléchir à la généralité en géométrie. De plus, cet article vise à indiquer les spécificités des réflexions de Chasles dans le contexte de la France du début du XIXe siècle et comment elles peuvent être mises en corrélation avec ses propres contributions mathématiques au domaine. Entre autres caractéristiques, l'auteure décrit comment Chasles a suggéré de généraliser l'idée qui est à la base de l'utilisation des projections par Monge et Poncelet. Elle montre également comment Chasles a reformulé le "principe de continuité" de Poncelet. Le dernier résultat de la réflexion philosophique de Chasles sur les méthodes générales est important d'un point de vue historique, car elle a donné le "principe des relations contingentes", qui a inspiré la méthode de Kummer pour introduire des éléments idéaux dans la théorie des nombres et, au-delà, la méthode de Hilbert des éléments idéaux.

Abstract

This article discusses the value of generality in Michel Chasles's historiography of geometry, articulated in his 1837 book Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie. It was composed at the time when the domain of projective geometry took shape. This domain emerged as the outcome of a historical, philosophical and mathematical reflection that developed over some decades at the beginning of the 19th century in France. This reflection explicitly aimed at determining how one could achieve in geometry, by purely geometrical means, as significant a generality as the one that had been achieved by way of analytical methods from the 17th century onwards. The book, written by one of the founders and practitioners of this domain of geometry, can be considered a synthesis of these reflections, both regarding geometry itself and the history of the progressive introduction of generality in the field. Moreover, the book presents the author's personal ideas on both aspects. It thereby reveals that the founders of the domain, among whom we can reckon Monge, Carnot, Poncelet and Chasles, held different views regarding the means for increasing generality in geometry. The article intends to rely on the analysis developed by Michel Chasles in his book in order to reflect on generality in geometry. Moreover, the article aims at indicating the specificities of Chasles's reflections in the context of early 19th century France and how they can be correlated with his own mathematical contributions to the field. Among other features, we sketch how Chasles suggested we generalize the idea that lay at the root of Monge and Poncelet's use of projections. We also show how Chasles reformulated Poncelet's "principle of continuity". The latter outcome of Chasles's philosophical reflection on general methods is important from a historical point of view, since it yielded the "principle of contingent relationships," which inspired Kummer's way of introducing ideal elements in number theory and, beyond, Hilbert's method of ideal elements.

Notes

Chapitre de l'ouvrage The Oxford Handbook of Generality in Mathematics and the Sciences.

Données de publication

Éditeur Oxford University Press Oxford , 2016 Collection Oxford Handbook Format 24,6 cm x 17,1 cm, p. 47-89 Index Bibliogr. p. 87-89

ISBN 0-19-877726-4 EAN 9780198777267

Public visé chercheur, enseignant

Type chapitre d’un ouvrage Langue anglais Support papier