Histoires de Mathématiques. Analyse. Achille et la tortue.

Séries géométriques.

Résumé

Les problèmes de sommation de séries géométriques existaient déjà chez les Mésopotamiens. Les Grecs en ont extrait le paradoxe de dichotomie, et celui d’Achille et la tortue. Ce dernier est lié aux problèmes de poursuite, un de ces types d’énigmes mathématiques que l’on retrouve au fil de siècles et des civilisations. Au dix-septième siècle, les séries géométriques ont servi de briques de construction à la fois pour le calcul différentiel, avec la quadrature de l’hyperbole, et pour les probabilités.

Abstract

Summation problems for geometric series already existed in Mesopotamia. From them, the Greek deduced the paradox of dichotomy, and that of Achilles and the tortoise. The latter is connected to pursuit problems that can be found in all civilizations along the centuries. During the seventeenth century, geometric series were used as building blocks both for integral calculus, with the quadrature of the parabola, and for the probabilities.

Notes

Depuis le site Histoires de Mathématiques , cette histoire est racontée dans le diaporama vidéo https://www.hist-math.fr/recits/zenon.html (durée : 31:26). Le fichier PDF associé permet d’utiliser le contenu des écrans https://www.hist-math.fr/pdf/zenon.pdf (12 p.).

Le site Histoires de mathématiques contient 228 récits concernant les mathématiques et leur histoire. Ils sont de format homogène : un diaporama vidéo de 20 à 30 minutes, un fichier PDF contenant le texte et une trentaine de transparents accessibles depuis sa fenêtre de liens.

Cette ressource est en ligne sur le site https://hist-math.fr/

Pistes d’utilisation en classe

Ce récit sera utilement complété par « La légende de Sissa » sur le même site.
Même si la sommation de série dépasse les programmmes de lycée, les suites géométriques sont suffisamment présentes à tous les niveaux comme exemples et source d’exercices, pour justifier que l’on introduise leurs sommes, ne serait-ce que comme exemple de convergence des sommes partielles, à illustrer numériquement. Le paradoxe d’Achille et la tortue renvoie aux exercices de poursuite, qui font partie du fond commun des énigmes mathématiques depuis des siècles : leur intérêt pédagogique n’est donc plus à démontrer.
Le lien avec les programmes de mathématiques des cycles 2, 3, 4 ainsi que du lycée est consultable depuis l’onglet « Programmes » du site.

Données de publication

Éditeur Ycart, Bernard Grenoble , 2019 Index Bibliogr. p. 17-17

Public visé élève ou étudiant, enseignant, tout public Niveau 1re, 2de, 3e, 4e, 5e, collège, lycée, terminale Âge 12, 13, 14, 15, 16, 17

Type Film, vidéo, monographie, polycopié, vulgarisation, popularisation Langue français Support internet