Cet article décrit comment il est possible d’enseigner efficacement l’algèbre linéaire élémentaire tout en introduisant aux élèves le concept et la pratique de la preuve mathématiques. C’est actuellement fait de façon non satisfaisante en utilisant une approche sophistiquée par Définition-Lemme-Démonstration-Théorème-Démonstration-Corollaire (DLPTPC) ; ceci est difficile, du fait que les étudiants en algèbre linéaire élémentaire ont très peu d’expérience en ce qui concerne les démonstrations et la rigueur mathématique. On peut à la place introduire les sujets et concepts d’algèbre linéaire d’une façon exploratoire et fondamentalement raisonnée. Une méthode apparemment performante de le faire est d’explorer le concept de solvabilité de systèmes linéaires tout d’abord à travers la forme échelon. Les questions de solvabilité conduisent à des critères sur les lignes et colonnes d’une matrice sous forme échelon qui peuvent être utilisés à plusieurs occasions pour : calculer des sous-espaces, établir une (in) dépendance linéaire, trouver des inverses, réaliser des changements de base, calculer des déterminants, analyser des systèmes propres etc. Si ces sujets sont expliqués de façon heuristique à partir des premiers principes des transformations linéaires, des équations linéaires, et de la forme échelon, les étudiants expérimentent la puissance d’une approche basée sur le concept et récoltent l’avantage d’une compréhension approfondie des maths. De plus, des démonstrations précoces de points importants conduisent à une compréhension intuitive de la preuve mathématique. Une fois le concept basique de preuve enraciné chez les étudiants, des preuves plus abstraites, même des exposés du style DLPTPC, sur les matrices normales, la SVD etc. deviennent accessibles et compréhensibles aux étudiants de deuxième année. Avec l’aide de cette approche en douceur et précoce, la notion et la construction d’une preuve mathématique sont profondément intégrées dans le cerveau des étudiants et les aideront dans leurs futures cours de mathématiques et dans leur raisonnement scientifique en général.