nombres d'Euler

nombres zigzag
nombres sécants
nombres tangents

ANALYSE

En théorie des nombres, les nombres d'Euler, En, sont une suite de nombres entiers positifs définis par le développement en série de Taylor de 1 / (cos x). Ils sont aussi appelés nombres sécants car l'inverse de la fonction cosinus est la fonction sécante : 1/cos(x) = sec(x) :
1/ cos x = séc x = 1 + E2 x² / 2! + E4 x⁴ / 4! + E6 x⁶ / 6! + ...
Les nombres d'Euler d'indice impair sont tous égaux à 0. Pour les nombres d'indice pair, les premiers sont : 1, 1, 5, 61, 1385, 50521, .
Ces mêmes nombres apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante hyperbolique (avec les signes alternativement + et -) :
1/ cosh x = 1 - E2 x² / 2! + E4 x⁴ / 4! - E6 x⁶ / 6! + ...

Ils interviennent encore en combinatoire comme nombres zigzag dans le problème suivant : Etant donné n objets numérotés 1, 2, ..., n, combien peut-on former de permutations de ces objets de sorte que leurs numéros croissent et décroissent alternativement (voir http://serge.mehl.free.fr/anx/zigzag.html ). On remarque alors qu'ils sont liés aux nombres tangents (qu'on retrouve dans le développement de la fonction tangente) et aux nombres de Bernoulli (ils constituent la suite d'Euler-Bernoulli ) ainsi qu'à la formule d'Euler-Maclaurin .

Remarque : d'autres notions sont aussi nommées en référence à Euler : nombre d'Euler (au singulier), nombre eulérien, etc. Voir d'autres entrées contenant "euler".