De Möbius, on connaît le ruban, ou bande, à une seule face ; et quoi d’autre ? Dominique Flament vient à point nommé resituer cette découverte dans l’oeuvre d’un mathématicien allemand du XIXe siècle, exclusivement tourné vers la géométrie, qui apporta à la science bien plus que ce ruban qui « appartient à une théorie des polyèdres qui d’emblée ne semblait pas devoir pour nous en être le cadre naturel ».

La structure de l’ouvrage est la suivante :
* Préface, Préambule
I. Möbius : un témoin d’exception
II. Une œuvre respectable
III. Théorie des polyèdres et topologie combinatoire
* Partie I – Antécédents :
Chapitre 1 : Une lente gestation
Chapitre 2 : Johann Benedict Listing (1808 – 1882)
* Partie II – Traduction : Corrélation élémentaire et volume d’un polyèdre selon Möbius – Préambule
Chapitre 3 : August Ferdinand Möbius – Théorie de la corrélation élémentaire
Chapitre 4 : August Ferdinand Möbius – Sur la détermination du volume d’un polyèdre
* Partie III – Annexes :
Annexe I – L’Allemagne de Möbius (1790 – 1868) ; éléments
Annexe II – Aspects et morceaux choisis de l’œuvre de Möbius
Annexe III – Géométrie synthétique, géométrie « pure » et géométrie analytique
Partie IV : Bibliographie ; Index.

La biographie de Möbius est banale, sans grand relief. Ce personnage réservé, calme, casanier, poursuit lentement et longuement une carrière d’enseignant. D. Flament divise son œuvre en quatre périodes, et centre son travail sur la quatrième : 1846 -1865, celle où il élabore une théorie des polyèdres qui l’amène à contribuer à l’émergence de la topologie ; il trouve une généralisation de la formule d’Euler (sur nombres de faces, sommets, arêtes) aux polyèdres non homéomorphes à la sphère. Les chapitres 3 et 4 (partie II) sont des traductions (par D. Flament lui-même) des textes originaux, qui permettent de vérifier les qualités de pédagogie, de clarté dans l’exposé, d’un auteur qui illustre tous ses propos d’exemples bien choisis (mais pas toujours d’assez de figures). Les autres chapitres étudient les relations entre Möbius et ses prédécesseurs, ses contemporains et ses successeurs ; un chapitre entier consacré à Listing donne un bon aperçu des apports de celui-ci. Möbius apparaît dans un rôle de classificateur, clarificateur, simplificateur, développeur de théories, mais aussi créateur de concepts nouveaux, initiateur, entre autres, de la notion de dualité. La « préhistoire » de la topologie est détaillée dans la partie I.
L’annexe II revient sur une période bien antérieure, mais non moins féconde de l’œuvre de Möbius : les années 1830, où il fut l’un des principaux artisans du calcul barycentrique, l’un des co-créateurs de la théorie des vecteurs (avec Poinsot, Chasles,…), avec applications à la statique.