Dans l’histoire, les concepts d’analyse ont été développés dans l’ordre inverse de l’ordre déductif. Au 17e siècle, Newton et Leibniz ont introduit des dérivées et des intégrales afin de résoudre des problèmes physiques et géométriques. Au 19e et 20e siècle, les mathématiciens ont fourni les bases de cette théorie, en donnant une définition précise du concept de limite. Les problèmes de fondements étaient typiques du XIXe siècle, mais, de plus, ces définitions précises étaient devenues nécessaires dans le concept plus général de fonction. Des fonctions « étranges » étaient apparues, dont la continuité, la différentiabilité et l’intégrabilité ne pouvaient être décidées sans définitions affinées.
Dans de nombreux cours et manuels, des définitions formelles sont introduites dès le début. Pour les élèves, ces définitions semblent compliquer les choses inutilement. Plus tard, dans ces cours et ces manuels, on fait « du fromage avec des trous » (en remplaçant les preuves trop difficiles par les mots « on peut prouver que . »). L’auteur propose d’utiliser les concepts « visuels » de la dérivée (pente de la tangente), de l’intégrale (surface) et de la continuité (courbe connexe) de manière importante, au moins dans une première phase. A la fin du cours, il propose de confronter les élèves à des fonctions oscillantes et à des fonctions ayant un nombre infini de discontinuités, afin de motiver des définitions affinées. La dernière phase, réservée aux élèves les plus orientés vers les mathématiques, consiste à utiliser ces définitions affinées dans quelques exemples de preuves. Pour cette proposition, l’inspiration historique a été utilisée sans copier l’histoire.