Prenant des exemples dans la mécanique et la physique, les auteurs montrent que "ce ne sont pas les mathématiques pures qui ont le plus grand pouvoir éclairant pour le physicien, mais bien les mathématiques appliquées". Ces exemples révèlent, ce que les auteurs appellent "un hiatus épistémologique" que l'on peut résumer de la façon suivante : "quand on peut représenter un phénomène par une expression mathématique, ce ne sont pas nécessairement les constructions théoriques élaborées par le mathématicien pour interpréter cette dernière qui traduisent le mieux les propriétés du phénomène". L'erreur est de concevoir "les mathématiques appliquées" comme l'application des mathématiques pures à des situations concrètes dont on veut donner une représentation rationnelle, représentation qui reste toujours approchée... Cette application n'est ni immédiate, ni directe. Elle exige de l'ingéniosité non seulement pour adapter des méthodes générales aux cas particuliers, mais aussi pour inventer les méthodes d'application proprement dites. Ce sont ces dernières qui constituent, en effet l'essentiel des "mathématiques appliquées".