Cet article illustre la manière dont une modélisation mathématique permet aux élèves de pratiquer une véritable activité mathématique dont le but est avant tout de produire de nouvelles connaissances. Le processus de modélisation est centré sur le mouvement libre d’une bille sur un plan incliné, à la manière de l’expérience présumée de Galilée. L’intérêt de cette modélisation est de proposer une activité mathématique qui permet une construction collective du savoir mathématique. Elle a un caractère authentique au sens où elle vise la compréhension d’un phénomène physique de notre environnement, ce qui requiert de construire le modèle fonctionnel du second degré. Ce modèle fonctionnel est d’abord rencontré sous la forme de ses premières différences — c’est-à-dire la suite des différences entre les valeurs successives prises par la fonction pour les valeurs naturelles de la variable indépendante —, puis transformé en deux représentations : un tableau numérique et la formule algébrique. L’analyse du texte de Galilée éclaire certains aspects de cette modélisation, tandis que l’expérimentation en classe permet de se rendre compte de la portée de cette approche pour l’apprentissage de la pensée fonctionnelle chez les élèves de 15-16 ans.

Structure de l'article
Introduction et contexte
1.Processus de modélisation
1.1 Modèle arithmétique de Galilée
1.2 Modèle fonctionnel sous forme d’un tableau de nombres
1.3 Modèle fonctionnel algébrique
1.4 Généralisation du modèle fonctionnel par le paramétrage
1.5 Modèle cinématique de la loi de Galilée
1.6 Modélisation mathématique comme production de connaissances
2. L’expérience de Galilée avec des élèves
2.1 Vers le modèle arithmétique de Galilée
2.2 Vers le modèle fonctionnel sous forme d’un tableau de nombres
2.3 Vers le modèle fonctionnel algébrique
2.4 Vers une généralisation du modèle fonctionnel par le paramétrage
2.5 Limites de l’adéquation entre l’expérience physique et le modèle mathématique
3. Retour sur les Discours et démonstrations de Galilée
4. Validation de l’hypothèse de Galilée
4.1 Pourquoi le mouvement d’un corps en chute libre est-il uniformément accéléré ?
4.2 Quelle suite des distances pour les temps égaux faut-il pour que le mouvement soit libre ?
4.3 Le nombre fini d’étapes d’observations suffit-il pour induire la permanence de la régularité ?
Conclusions
Remerciements
Références bibliographiques
Annexe
Questions posées au élèves