L'introduction est constitué d'un historique des travaux sur les séries divergentes : avant Abel et Cauchy, les travaux de Cauchy, les séries divergentes depuis Cauchy. Le premier chapitre intitulé "Séries asymptotiques" présente la série de Stirling, la théorie de Poincaré avec extension au champ complexe et applications aux équations différentielles. Le chapitre suivant est consacré aux fractions continues et à la théorie de Stieltjes. Le troisième chapitre traite de la théorie des séries sommables avec un exposé des différentes méthodes de sommation. Ce thème est prolongé dans le chapitre suivant :"Les séries sommables et le prolongement analytique". Le cinquième chapitre aborde les développements en séries de polynômes où une place importante est donnée au théorème de Mittag-Leffler et à l'intégrale de Cauchy. Le dernier chapitre présente "Le développement moderne de la théorie des séries divergentes" avec le principe des facteurs de convergence, les séries de Dirichlet, la méthode de Riesz, l'intégrale de Laplace-Abel, les fonctions quasi-analytiques.