Le plan de ce chapitre sert de résumé :

Introduction

Le devenir de la méthode axiomatique au dix-neuvième siècle
- Le problème des parallèles
- L'émergence des géométries non-euclidiennes
- La querelle entre les tenants des méthodes "analytiques" et "synthétiques
- La critique de l'axiomatique euclidienne
- De la synthèse de Cayley au programme d'Erlangen
- La conception de l'axiomatique de la géométrie chez Pasch
- L'axiomatique durant les dix dernières années du dix-neuvième siècle
- Les Fondements de la Géométrie, chez Hilbert et après lui

Les progrès vers la formalisation et la compréhension de son rôle jusqu'à la fin du dix-neuvième siècle
- Les étapes fondamentales de l'évolution des notations mathématiques
- Les variations d'attitude quant au sens et à la portée des calculs et des mathématiques

La logique mathématique au dix-neuvième siècle
- L'algèbre de la logique et le calcul propositionnel
- La théorie des relations
- La logique formalisée ches Frege et Peano

Grandes idées du vingtième siècle
- Le logicisme et la théorie des types
- La théorie des ensembles
- Le programme de Hilbert
- Intuitionnisme et autre attitudes non classiques
- Les fonctions récursives
- Les débuts de la théorie des modèles
- La solution du premier problème de Hilbert