Le but de cet article est d’introduire à deux notions utilisées actuellement dans la recherche en théorie des nombres : les points rationnels et les courbes elliptiques. On y trouvera en premier lieu une explication de l’intérêt porté aux points rationnels, en lien avec le théorème de Pythagore. Ensuite, après avoir expliquer la notion de loi de groupe sur les points rationnels d’une courbe elliptique, on énonce un résultat important, le théorème de Mordell-Weil. La fin de l’article est consacrée à la manière dont ces notions interviennent dans la recherche actuelle, autour de deux exemples : un problème ouvert, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, et les points de Heegner. On trouvera en conclusion un panorama des notions relatives aux courbes elliptiques en lien avec la théorie des nombres, ainsi qu’une bibliographie détaillée. Le niveau requis est le bagage classique d’un étudiant de premier cycle (un petit peu de géométrie, et la définition d’un groupe).