Ce livre commence par une esquisse de l’histoire ancienne (avant 1600) de l’étude des équations algébriques (chapitres I et II). Après quelques résultats sur les polynômes symétriques (chapitre III), la théorie de Galois est développée (chapitres IV, VI, VII et VIII) pour les extensions algébriques de degré fini contenues dans le corps des complexes, pour rester dans un cadre connu. Le chapitre VIII présente ce qui est sans doute l’idée la plus profonde de Galois : la correspondance entre extensions et groupes.
On lira aussi : une digression sur les constructions à la règle et au compas (chapitre V), de belles applications: racines des l’unité (chapitre IX), extensions cycliques (chapitre X), un critère de résolubilité par radicaux (chapitres XI, XII), qui donnent à cette partie un aspect d’achèvement. De nombreux résultats peuvent être généralisés sans difficulté à des corps quelconques (au moins en caractéristique 0), ou adaptés aux extensions de degré infini. La vie exceptionnelle d’Evariste Galois ne pouvait pas ne pas être évoquée (chapitre XIII). Suivent quelques indications sur les corps finis (chapitre XIV) et sur les extensions séparables (chapitre XV). Le chapitre XVI présente des sujets de recherches actuelles. D’abord l’étude, dans un cas très simple, du problème inverse de la théorie de Galois : savoir si tous les groupes finis sont groupes de Galois d’extensions finies. Ensuite une méthode de calcul de groupes de Galois développable sur ordinateur. Des exercices et des problèmes complètent la plupart des chapitres de ce cours. Certains énoncés rassemblent des exercices d’entraînement ou reprennent des textes d’examen : d’autres proposent des résultats intéressants mais qui ne peuvent s’intégrer dans le corps du texte ; les solutions sont parfois détaillées, parfois rapides.