matrice de Sylvester

résultant de Sylvester

ALGEBRE

Etant donnés deux polynômes P et Q sur un corps K, de degrés respectivement p et q. La matrice de Sylvester de ces polynômes est la matrice carrée d'ordre p+q dont les coefficients sont disposés de la façon suivante :
- dans la première colonne les coefficients de P, puis des 0 ;
- puis les colonnes suivantes sont la précédente décalée d'un rang vers le bas, jusqu'à la colonne de rang p ;
- dans la colonne p+1, les coefficients de Q puis des 0 ;
- dans les colonnes suivantes on reproduit la précédente en décalant d'un rang vers le bas.

Le déterminant de cette matrice est appelé résultant des polynômes P et Q.
Théorème : les polynômes P et Q ont un diviseur commun si et seulement si leur résultant est nul.

Dans le cadre de la théorie des matrices, on appelle critère de Sylvester, l'énoncé suivant :
« pour qu'une matrice réelle symétrique ou complexe hermitienne A = (aij)1≤i, j≤n soit positive, il est nécessaire et suffisant que les n matrices Ap = (aij)1≤i, j≤p aient un déterminant strictement positif (i. e. : les n mineurs principaux soient strictement positifs)