loi d’inertie de Sylvester
ALGEBRE
La loi d’inertie de Sylvester est un théorème de classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie.
Soit Q une forme quadratique sur E, espace vectoriel réel de dimension finie. Alors, il existe (e1,…,en) une base de E, et des entiers p et q tels que, pour tout vecteur x=x1e1+…+xnen de E, on ait
Q(x)=x12+…+xp2-xp+12-…-xp+q2.
En outre, si dans une autre base (f1,…,fn) de E, on a une décomposition du même type, c’est-à-dire qu’il existe r et s tel que, pour y=y1f1+…+ynfn de E, on ait
Q(y)=y12+…+yr2-yr+12-…-yr+s2,
alors on a nécessairement r=p et s=q. Le couple (p,q) s’appelle signature de Q.
Sylvester applique ces résultats à la mécanique et analyse l’énergie à transmettre à un solide pour lui donner une vitesse de rotation. C’est ce qu’on désigne par principe d’inertie de Sylvester .