La logique, c’est l’étude du langage et du raisonnement, base de toute activité mathématique. Elle est donc omniprésente dans notre enseignement.
Nous suivons ici sa trace en arithmétique où, comme ailleurs, elle est parfois bien visible mais souvent soigneusement cachée, comme on le constate dans tous les manuels scolaires. Le raisonnement par récurrence est un exemple emblématique. Nous nous intéressons aussi à l’énoncé du théorème de Bézout et aux questions de langage qu’il soulève. Mais la logique est avant tout présente dans les fondements de l’arithmétique, sujet dont les élèves (voire les professeurs !) n’entendent pratiquement jamais parler. Nous présentons donc ici les axiomes de Peano et nous évoquons les modèles de l’arithmétique. Nous terminons par un résultat très troublant qui mêle inextricablement arithmétique et logique : le théorème de Goodstein.