Depuis les programmes de collège (septembre 2016) et de lycée (janvier 2019), l’arithmétique a retrouvé une place plus importante à ces deux niveaux d’enseignement. Ce retour mérite une réflexion de la part de tous les acteurs de la communauté éducative afin de mieux accompagner les collègues et les élèves, le réseau des IREM s’y engage pleinement.
Le préambule des programmes de mathématiques du cycle 4 souligne l’importance de la formation au raisonnement et le rôle particulier que peut y jouer l’arithmétique. Ce travail contribue fortement à la formation de la personne et du citoyen (domaine 3 du socle). La notion de preuve est toujours un objectif central dans le secondaire : « Le programme du cycle 4 permet d’initier l’élève à différents types de raisonnement, le raisonnement déductif, mais aussi le raisonnement par disjonction de cas ou par l’absurde » pour préparer le passage à la démonstration qui est un enjeu fondamental du programme de seconde. C’est aussi l’occasion, pour les élèves, d’enrichir leurs connaissances sur les nombres.
De nombreuses recherches ont montré les potentialités de l’arithmétique pour mener un tel travail, la géométrie n’étant pas le seul domaine pertinent pour raisonner, conjecturer, prouver. En effet, la familiarité des élèves avec les nombres facilite leur engagement dans la tâche et il est aisé de proposer des exercices d’arithmétique conduisant à formuler une conjecture qui ne soit pas une évidence. Il y a alors un véritable enjeu à prouver cette conjecture. De nombreux groupes IREM et chercheurs ont déjà exploré cette thématique. Ainsi, ce colloque a été l’occasion de proposer une synthèse de ces travaux en abordant quelques-unes des questions qui se posent aux enseignants et aux formateurs : Quels enjeux d’apprentissage de l’arithmétique du cycle 3 à l’université ? Comment permet-elle d’engager les élèves dans un processus de preuve ? Quelles compétences mathématiques sont travaillées à travers son apprentissage ? Quelle(s) articulation(s) entre arithmétique et logique ? Quel apport de l’histoire des mathématiques concernant les usages de l’arithmétique ? Quels transferts en classe ? Quelle place pour l’algorithmique et la programmation ? Les propositions d’ ateliers aborderont l’une ou plusieurs de ces questions et pourront adopter le point de vue des savoirs en jeu, des apprentissages des élèves, des pratiques ou de la formation des professeurs.
L’un des objectifs de ce colloque a été ainsi de donner aux différents acteurs une vision d’ensemble de l’enseignement de l’arithmétique à travers des conférences, communications et ateliers dont voici les textes ou comptes rendus :

Les conférences
– Daniel Perrin : Arithmétique au collège et au lycée : autour de la cryptographie et des nombres premiers
– Véronique Battie : Quels apports didactiques de l’arithmétique pour le raisonnement mathématique ?
– René Cori : Arithmétique et logique
– Jean-Michel Muller : Arithmétique des ordinateurs
– Marc Moyon : Nombres, opérations et problèmes récréatifs : histoire(s) parfaite(s) et figurée(s) pour enseigner l’arithmétique en cycle 3

Les comptes rendus d’ateliers :
A01- Frédéric Laurent : L’arithmétique, c’est tout une histoire !
A05 – Stéphane Vinatier : Conjectures et preuves
A06 – Gilles Damamme : Calculer une approximation de √2 par des rationnels en faisant du découpage
A07 – Fabrice Vandebrouck, Sylvie Alory et Benoît Mariou : Raisonner avec le puzzle de la division euclidienne
A08 – Thomas Meyer : Une activité autour des nombres de Sophie Germain
A10 – Aurélie Roux et Laurianne Foulquier : Entrée dans la preuve en arithmétique : Un exemple d’usage de la situation du plus grand produit
A11 – Thierry Chevalarias, Stéphanie Dewyspelaere et Jérôme Hérisset : Pièces de Monnaies : Diop à tous prix
A12 – Anne Cortella : Raisonner en arithmétique dans un tour de magie: le tour de Gergonne
A13 – Sébastien Durand, Julien Lavolé et Mireille Sauter du groupe Resco de l’IRES de Montpellier: Une activité de modélisation collaborative de problèmes entre classes : Les vitres
A14 – Frédéric Métin : Méthodes et pratiques arithmétiques du XVIe siècle
A15 – Denis Gardes et Dominique Bernard : Arithmétique et raisonnements mathématiques
A17 – Thérèse Gilbert et Daniel Zimmer : Conjecturer, débattre, raisonner en arithmétique, en formation initiale des enseignants et au collège
A18 – Jean-Charles Pourtier : Utilisation du boulier chinois
A19 – Aurel Page : Cryptologie
AJ – Groupe Maths et Jeux de l’IREM d’Aquitaine : Ateliers Maths et Jeux