Si les mathématiques utilisent depuis le 16e siècle des entités algébriques dont le carré peut donner un nombre négatif, si l’usage de telles entités se révèle particulièrement utile en trigonométrie, dont elles permettent un traitement algébrique portant sur des écritures finies (qui ont recours à l’exponentielle complexe), la légitimité de telles quantités n’est pas acquise : elle ne le sera qu’avec l’unification des problématiques analytique, algébrique et géométrique relatives non seulement à la définition de ces entités, mais aux opérations portant sur elles, et avec l’élaboration par A. L. Cauchy (1789-1853) d’une théorie des fonctions de la variable complexe.
Pendant cet atelier ont été confrontés les différents types d’argumentation à l’oeuvre dans ce travail de légitimation du début du 19e, notamment dans les textes peu connus de Playfair (1778), Wessel (1797), Woodhouse (1801), Argand (1805), Buée (1805), Warren (1828) ou Mourey (1828), dont les différentes tentatives rendent explicites les difficultés épistémologiques rencontrées.