L’Ouvert. N° 36. p. 32-40. Comment ranger des balles de ping-pong ?
D'après une conférence de Francois Sigrist.
English Title : The problem of how to arrange table-tennis balls. With reference to a paper by Francois Sigrist. (ZDM/Mathdi)
Deutscher Titel : Tischtennisbaelle anordnen – aber wie. Nach einem Vortrag von Francois Sigrist. (ZDM/Mathdi)
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Auteur : Chaney Eric
Résumé
L’article traite diverses questions concernant l’empilement compact de sphères. Tout d’abord le problème suivant est traité : détermination de la densité maximale dans l’empilement de sphères avec un rayon donné pour les sphères, la densité étant définie comme le quotient du volume de l’empilement par le volume de l’espace à remplir. En 1958 Rogers a établi le théorème suivant : si d(n) est le simplexe avec un côté de longueur 1 dans espace euclidien de dimension n, sur lequel (n+1) sphères de rayon ½ sont placées de telle sorte que les centres sont sur les sommets du simplexe, et si f(n) est le quotient du volume des sphères dans le simplexe par le volume du simplexe, la densité de chaque empilement de sphères est plus petite que s(n). Avec n=2, d(n) est un triangle équilatéral, ce qui signifie que s(2)=2 racine(3). Ce maximum est atteint car le plan peut être entièrement pavé en triangles. Pour n=3, le maximum ne peut pas être atteint car on ne peut paver l’espace avec des tétraèdres. Si on quitte les simplexes pour s’intéresser à tout type de structure en treillis, on obtient des résultats très liés aux formes quadratiques. L’auteur étudie de plus les nombres appelés « kissing numbers », ou nombre de contact. Abstract Various questions on the packing of spheres are dealt with. First of all the following problem is tackled: Determine the maximum density in packing spheres with a given sphere radius, whereby density is defined as the quotient of the sphere packing volume and the volume of the space to be filled. In 1958 Rogers established the following theorem: If d(n) is the simplex with a side length 1 in an n-dimensional Euclidean space, on which (n+1) spheres with a radius 1/2 are placed in such a way that the centres are on the corners of the simplex, and if s(n) is the quotient of the sphere volumes within the simplex and the simplex volume, the density of each packing of spheres is smaller than s(n). With n=2, d(n) is an equilateral triangle, which means s(2) = 2 3. This maximum is assumed because the plane can be completely covered with triangles. With n=3 this maximum cannot be assumed since it is not possible to pave a space with tetrahedra. Leaving simplices and moving on to any kind of lattice structure, we obtain results closely linked to quadratic forms. In addition, the author also goes into the subject of the so-called ‘kissing-numbers’. (ZDM/Mathdi) Zusammenfassung Verschiedene Fragen zu Kugelpackungen werden behandelt. Zuerst wird folgendes Problem angegangen: Bestimme die maximale Dichte einer Kugelpackung bei gegebenem Kugelradius, wobei Dichte definiert ist als Quotient von Kugelpackungsvolumen und Volumen des zu fuellenden Raumes. Rogers fand 1958 nachstehenden Satz: Sei d(n) das Simplex mit Kantenlaenge 1 im n-dimensionalen euklidischen Raum, auf das (n+1) Kugeln mit Radius 1/2 so aufgesetzt werden, dass die Mittelpunkte auf den Ecken des Simplex liegen und sei s(n) der Quotient aus den Kugelvolumina innerhalb des Simplex und des Simplexvolumens, dann ist die Dichte jeder Kugelpackung kleiner als s(n). Fuer n=2 ist d(n) ein gleichseitiges Dreieck und es gilt (s(2) = /2 3. Dieses Maximum wird angenommen, weil sich die Ebene mit Dreiecken ueberdecken laesst. Fuer n=3 kann dieses Maximum nicht angenommen werden, da eine Pflasterung des Raumes durch Tetraeder nicht moeglich ist. Sieht man ab von Simplices und geht zu beliebigen Gitterstrukturen ueber, gelangt man zu Ergebnissen, die eng mit quadratischen Formen zusammenhaengen. Weiter wird auf die sogenannte ‘Kissing-number’ eingegangen. (ZDM/Mathdi)
Notes
Article de L’Ouvert n°36.
L’Ouvert est le journal de la Régionale de l’Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) d’Alsace et de l’IREM de Strasbourg. Lien entre l’enseignement secondaire des Mathématiques et l’Université, L’Ouvert propose à ses lecteurs : des articles sur les recherches récentes ; des textes sur l’histoire des mathématiques ; des synthèses sur les questions didactiques ; des comptes rendus d’activités et d’expérimentations avec les élèves ; des problèmes pour stimuler le plaisir de chercher ; des informations sur l’enseignement des mathématiques en Europe ; des nouvelles des groupes de l’IREM et le point sur leurs recherches.
L’Ouvert a cessé de paraître en 2010 avec le n° 118. Tous les articles de L’Ouvert sont disponibles sur le site de l’IREM de Strasbourg.
Données de publication
Éditeur IREM de Strasbourg Strasbourg , 1984 Format A4, p. 32-40
ISSN 0290-0068
Public visé enseignant
Type article de périodique ou revue Langue français Support papier
Classification