L’année 2017 est riche en élections dans de grandes démocraties, élection de Donald Trump aux États Unis d’Amérique, élection présidentielle en France, Brexit en 2016,… Les surprises passées ou à venir de ces élections, l’imprédictibilité angoissante des élections en France et dans d’autres pays, les débats qui se concentrent sur des épiphénomènes n’ont pas seulement des explications politiques, mais sont très liés aux modes de scrutin choisis. Cet exposé se veut une tentative d’instruction sur les règles du jeu, au sens de cette formule de Charles Lutwidge Dodgson, mathématicien anglais : « Les élections devant refléter de préférence le voeu de la majorité et non celui des plus habiles au jeu électoral, il me paraît souhaitable que tous maîtrisent les règles de ce jeu. » Dès 1770, Borda s’interroge à propos de l’élection des membres de l’académie royale des sciences et signe avec Condorcet le début d’une littérature méconnue sur les problèmes soulevés par le choix collectif. Il faudra attendre le milieu du XXe siècle avec notamment Georges Théodule Guilbaud, en France, pour remettre au goût du jour la pensée mathématisante dans les questions sociales. Cet exposé cherche à montrer comment la voie ouverte par les précurseurs que sont Borda et surtout Condorcet avec la mathématique sociale aide à comprendre les phénomènes électoraux. Nicolas Saby montre comment le vote, acte démocratique décisif, influence considérablement la vie démocratique, pas toujours en bien pour le collectif. Au moyen d’exemples simples et réels, les modèles mathématiques et les théorèmes associés il aide à comprendre les principaux obstacles ou impasses dans lesquels nous projettent les systèmes de votes usuels. Les progrès dans ce domaine sont nombreux, récents et à venir. Ils permettraient probablement de réaliser de véritables avancées démocratiques.