ANALYSE
Propriété concernant les fonctions convexes.
On l’appelle aussi lemme des trois pentes ou lemme des trois cordes.
f est convexe sur un intervalle I si pour tous points x, y, z de I avec x < y < z,
(f(y)-f(x))/(y-x) ≤ (f(z)-f(x))/(z-x) ≤ (f(z)-f(y))/(z-y).
Réciproquement, si une des deux inégalités est vérifiée pour tous x, y, z de I avec x < y < z, alors f est convexe.
Ce lemme permet de démontrer que si f est convexe sur un intervalle ouvert I, alors f est continue sur I, elle est dérivable à gauche et à droite en tout point de I, et l’ensemble des points où elle n’est pas dérivable (c’est-à-dire les dérivées à gauche et à droite sont distinctes) est au plus dénombrable.