Le deuxième problème de Hilbert posé au Congrès de Paris en 1900 est : peut-on démontrer par des procédés finitistes la consistance (non-contradiction) de l’arithmétique ?
La réponse donnée par Gödel en 1931 est non.

Le problème étant la non-contradiction de la théorie de Péano, on montre d’abord qu’il ne peut y avoir d’algorithme de reconnaissance des théorèmes de cette théorie lorsqu’on la suppose non-contradictoire et ensuite qu’il existe un énoncé de cette théorie, toujours supposée non-contradictoire tel que ni lui, ni sa négation soit démontrable dans la théorie.