formule de Gauss

ARITHMETIQUE
GEOMETRIE

Les formules de Gauss sont nombreuses. Citons :

1) la première, connue parfois sous le nom de formule du « petit Gauss » (Gauss l’aurait redécouverte à l’age de 5 ans), donne la somme des n premiers entiers :
S_n = n(n+1)/2.

2) Une autre formule de Gauss permet de prévoir la date de la fête de Pâques (elle conduit à quelques erreurs) :
Soit m l’année, p et q deux variables données dans le tableau suivant en fonction du siècle, pour trouver la date de Pâques dans le calendrier grégorien , on calcule successivement.
1. le reste de m/19 : c’est la valeur de a.
2. le reste de m/4 : c’est la valeur de b.
3. le reste de m/7 : c’est la valeur de c.
4. le reste de (19a + p)/30 : c’est la valeur de d.
5. le reste de (2b + 4c + 6d + q)/7 : c’est la valeur de e. a titre d’exemple pour 2000-2099 p = 24 q=5.
La date de Pâques est le (22 + d + e) mars ou le (d + e – 9) avril.

3) Sous le nom de formule de Gauss on désigne aussi celle de la quadrature de Gauss utilisée pour des calculs approchés d’intégrales ; ces formules sont de la forme
∫_-1¹ g(t) d(t) ∼ ∑_i=1ⁿ w_ig(t_i).

Il existe aussi une formule concernant les surfaces et les champs :

T_jk( x_i) une fonction tensorielle, ω une surface fermée , n_i un vecteur normal à la surface au point d’indice i :

∫∫∫_ω∂T_jk/(∂x_i) dv = ∂∫_∂ω n_i .T_jk ds

formule qui s’écrit avec un champ vectoriel V, D étant un domaine limité à la surface fermée S, ⊗ est le produit tensoriel, n et t sont des vecteurs respectivement tangent à la surface et normal à la surface S
∫∫∫_D grad(t) dV = ∫∫_S(t⊗n)ds. De cette formule découle celle d’Ostrogradski ou de la divergence.

4) Rappelons aussi la formule de Gauss en électromagnétisme qui concerne le flux à travers une surface fermée et qui est liée à la précédente.