Félix Klein, l’un des plus grands géomètres du 19e siècle, a découvert dans les mathématiques une idée préexistante dans la mythologie bouddhiste : le paradis d’Indra contenait un ensemble de perles dont chacune se reflétait dans sa voisine, de telle sorte que l’Univers tout entier se reflétait dans chaque perle. Klein étudia les répétitions infinies de réflexions, ce qui le conduisit à des formes comportant de multiples symétries coexistantes, chacune étant simple en elle-même, mais dont les interactions produisent des fractales proches du chaos. Pendant un siècle ces images, qui étaient pratiquement impossibles à dessiner à la main, ont à peine existé en dehors de l’imagination des mathématiciens. Cependant dans les années 1980 les auteurs se lancèrent dans la première exploration sur ordinateur de l’idée de Klein, trouvant de ce fait par eux-mêmes d’autres images extraordinaires. Les lecteurs peuvent avec les auteurs sur le chemin menant de quelques idées mathématiques de base vers les algorithmes simples qui créent les délicats filigranes fractaux, la plupart n’ayant jamais été imprimés auparavant. Les débutants peuvent apprendre à comprendre ce que ces images signifient et suivre la suite d’instructions à utiliser pour écrire les programmes informatiques qui les génèrent. Il y a également un aperçu historique des nombreux mathématiciens impliqués dans ces recherches. La plupart des groupes de symétrie sont engendrés par deux transformations du type (az+b)/(cz+d) associées à deux ensembles invariants et compliqués de nombres complexes. Ceci produit une dalle ressemblant à un fromage suisse qui, sous l’action du groupe, pave l’ensemble du plan complexe saur l’ensemble limite, qui est lui aussi invariant. Les propriétés de ces pavages sont sensibles aux valeurs spécifiques de a, b, c et d dans les transformations mises en jeu, et le thème principal des chapitres du livre est l’étendue frappante du comportement de ces pavages.