La théorie de Markoff a été développée à la fin du XIXe siècle à partir des fractions continues. Elle identifie les nombres algébriques de degré 2 les plus mal approchables par leurs réduites rationnelles comme par exemple le « nombre d’or ».
Cet ouvrage décrit une perspective de généralisation à partir de l’invariant h de Dedekind, lui même lié à la théorie des fonctions automorphes. Le livre décrit les équations diophantiennes à considérer, et la structure arborescente de leurs solutions, le lien avec les courbes elliptiques et les idéaux de corps quadratiques. Il interprète géométriquement ces équations sur des tores percés, donne le lien avec la théorie de Teichmüller. Il évoque le lien découvert récemment avec la classification des fibrés vectoriels exceptionnels et approfondit les liens avec les fonctions automorphes et les algèbres de Lie de dimension infinie. Il fournit un cadre pour l’interprétation de quelques conjectures très importantes. Décrivant également les liens avec la théorie ergodique et la mécanique statistique, l’ouvrage évoque différentes perspectives pour la théorie des groupes quantiques et la théorie quantique de l’information.

Sommaire :
1. Un formalisme général
2. Bouquets, forêts et arbres
3. Analyse du spectre de Markoff
4. Vers les courbes elliptiques
5. Tores percés conformes
6. La théorie de Markoff classique
7. Géométrie conforme des surfaces