Bulletin de l’APMEP. N° 314. p. 593-604. Construction des réels et numérations.

English Title : Construction of real numbers and number systems. (ZDM/Mathdi)
Deutscher Titel : Konstruktion der reellen Zahlen und Ziffernsysteme. (ZDM/Mathdi)

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Auteur : Moser Claude

Résumé

L’article trouve son origine dans la préoccupation suivante : « Comment utiliser la méthode des coupures de Dedekind pour construire le corps des nombres réels à partir de l’anneau des nombres décimaux ? » Problème pouvant paraître comme « banal quand on connaît la construction des réels à partir des rationnels. La seule difficulté est de faire prouver que tout réel non nul est inversible. La démonstration classique utilise fortement le fait que tout rationnel non nul est inversible. Elle n’est donc pas transposable telle quelle au problème ici posé. » Pour s’en sortir, il faut avoir recours à la propriété suivante (P) : « l’ensemble D* des décimaux inversibles est dense dans l’ensemble D des nombres décimaux. »
Dans cet article, l’auteur se propose de démontrer une forme généralisée de la propriété (P) et le théorème.

Abstract

By generalizing the decimal system the following sentence is formulated. Be n,v>= 2 integers, that are no powers of a common integer. Be (a[;..an) a n-tupel in the decimal system to the basis n. It follows that: the set of powers of v, of which the development starts by the basis n with (a[;..an) is not finite. This proof is shown by a recursive defined sentence for which the author has developed a program in the appendix. (ZDM/Mathdi)

Zusammenfassung

In Verallgemeinerung zum Dezimalsystem wird folgender Satz formuliert: Seien n,v>= 2 ganze Zahlen, die nicht Potenzen einer gemeinsamen Zahl sind. Sei (a[;..;an) ein n-tupel im Ziffersystem zur Basis n. Dann gilt: Die Menge der Potenzen von v, deren Entwicklung zur Basis n mit (a[;..;an) beginnt, ist nicht endlich. Der Beweis wird mit Hilfe einer rekursiv definierten Folge bewiesen, fuer die der Autor ein im Anhang abgedrucktes Programm erstellt hat. (ZDM/Mathdi)

Le Bulletin de l’APMEP (appelé « Bulletin Vert ») s’efforce, par des articles de fond : de couvrir l’actualité de l’enseignement des mathématiques de la maternelle à l’université, de contribuer à la formation approfondie des enseignants, d’entretenir, chez ceux-ci, l’esprit de recherche et de susciter des échanges avec ses lecteurs.
Il paraît 5 fois par an de sa création à 2018, année où suite à un changement de politique éditoriale, l’APMEP publie une revue unique Au Fil des Maths – le Bullletin de l’APMEP.

Données de publication

Éditeur Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) Paris , 1978 Format A5, p. 593-604
ISSN 0240-5709

Public visé chercheur, enseignant, formateur

Type article de périodique ou revue Langue français Support papier