triangle polaire

GEOMETRIE

Notion de géométrie sphérique.
Soit S une sphère, Γ un grand cercle de cette sphère et Π le plan de ce cercle. On appelle pôles de Γ les deux points de S diamétralement opposés qui sont les intersections de S et de la droite perpendiculaire à Π passant par le centre de la sphère.
La droite qui joint ces deux points est l’axe polaire du grand cercle.

Un triangle sphérique est défini par trois arcs de grands cercles de longueur inférieure à un demi-grand cercle.
Etant donné un triangle ABC sur une sphère S de centre O, l’axe polaire du grand cercle AB coupe la sphère en deux points, soit C1 celui qui est dans l’hémisphère (limité par le grand cercle AB) contenant C.
De même B1 est le pôle du cercle AC qui est dans l’hémisphère (limité par le grand cercle AC) contenant B, et A1 est le pôle du cercle BC qui est dans l’hémisphère (limité par le grand cercle BC) contenant A.
Le triangle A1B1C1 est le triangle polaire du triangle ABC.

La transformation qui à un triangle associe son triangle polaire est involutive .
Une propriété d’un triangle sphérique et de son triangle polaire : les angles de l’un et les côtés de l’autre sont supplémentaires.