loi d’inertie de Sylvester

théorème d’inertie de Sylvester

ALGEBRE

La loi d’inertie de Sylvester est un théorème de classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie.
Soit Q une forme quadratique sur E, espace vectoriel réel de dimension finie. Alors, il existe (e1,…,en) une base de E, et des entiers p et q tels que, pour tout vecteur x=x1e1+…+xnen de E, on ait
Q(x)=x1²+…+xp²-xp+1²-…-xp+q².
En outre, si dans une autre base (f1,…,fn) de E, on a une décomposition du même type, c’est-à-dire qu’il existe r et s tel que, pour y=y1f1+…+ynfn de E, on ait
Q(y)=y1²+…+yr²-yr+1²-…-yr+s²,
alors on a nécessairement r=p et s=q. Le couple (p,q) s’appelle signature de Q.

Sylvester applique ces résultats à la mécanique et analyse l’énergie à transmettre à un solide pour lui donner une vitesse de rotation. C’est ce qu’on désigne par principe d’inertie de Sylvester .