paradoxe de Schwarz

GEOMETRIE

Il s’agit d’un paradoxe lié à la définition et à l’approximation de l’aire d’une surface gauche et qui montre qu’on ne peut pas généraliser aux aires les méthodes permettant d’approcher la longueur d’une courbe.
Généralisant la méthode d’Archimède pour approcher la longueur d’une courbe par des lignes polygonales inscrites, on approche une surface gauche par des polyèdres inscrits.
En appliquant cette méthode à un cylindre et des antiprismes à faces triangulaires, on arrive à une aire du cylindre de révolution comprise entre 2π R H et ∞, autrement dit il n’y a pas de limite supérieure.
Hermann Schwarz a démontré au début des années 1890 que cette extension aux surfaces, proposée par Serret en 1879, des méthodes appliquées aux courbes est erronée. Plusieurs mathématiciens, en particulier Peano et Lebesgue , ont travaillé à cette question de définition des aires gauches.