matrice de Gram

déterminant de Gram

ALGEBRE

Soit E un espace vectoriel euclidien et u=(u₁, ..,u_n) une famille de n vecteurs, la matrice de Gram de cette famille est la matrice formée par tous les produits scalaires u_i.u_j. Son déterminant noté Gram(u) est appelé le déterminant de Gram de u.
La matrice de Gram est toujours positive.
Si le déterminant de Gram de u est non nul , la famille u est libre.
L’intérêt des déterminants de Gram est de permettre de calculer des distances en application du théorème suivant : V étant un sous-espace vectoriel de E muni de la base ( e₁, ..e_n) et v un vecteur de E, alors la distance de v à V est telle que d² = Gram(e₁, ..e_n,v)/ Gram(e₁, ..e_n).