birapport

GEOMETRIE

Le birapport ou rapport anharmonique est une notion importante en géométrie, particulièrement en géométrie projective.
Cette notion remonte à Pappus d’Alexandrie . Le terme rapport anharmonique est, lui, dû à Chasles.

Birapport de 4 nombres : le birapport de 4 nombres (réels ou complexes) a, b, c, d pris dans cet ordre est [(a-c)/(a-d)]/[(b-c)/(b-d)].
Par passage à la limite, cette définition s’étend au cas où un des nombres devient infini.

Birapport de 4 points alignés : le birapport de 4 points alignés A, B, C, D est le birapport de leurs abscisses.

Il ne dépend pas du repère choisi.
Lorsque le birapport est égal à -1, les points forment une division harmonique.
Théorème : Le birapport est conservé par projection centrale.
Ce théorème conduit au birapport de quatre droites.

Birapport de 4 droites : 4 droites concourantes en O étant données (ou droites parallèles en introduisant le point à l’infini), les birapports de leurs points d’intersection sur toute droite qui les coupe est le même (d’après le théorème précédent). Ce birapport est le birapport des 4 droites.

C’est aussi le birapport des sinus des angles au sommet : (sin COA/sin COB)/(sin DOA/sin DOB).
Lorsque ce birapport est égal à -1, les droites forment un faisceau harmonique .

Birapport de 4 points sur un cercle : on considère 4 points A, B, C,D sur un cercle et un point P sur ce même cercle. D’après le théorème de l’angle inscrit , les angles APB, APC, etc. ne dépendent pas du point P. donc le birapport des sinus des angles non plus. Ce birapport est le birapport des 4 points du cercle.
Cette définition s’étend à 4 points sur une conique (d’après le théorème de Chasles-Steiner : une homographie entre deux faisceaux de droites définit une conique).